Question

19．如图，在四棱锥E-ABCD中，EC⊥底面ABCD，AB⊥BC，AB∥CD，AB=1，CB=CD=CE=3．
（1）若F在侧棱DE上，且DF=2FE，求证：AF∥平面BCE；
（2）求平面ADE与平面BCE所成锐二面角的余弦值．

Answer 1

分析 由已知可得CB，CE，CD两两垂直，可以C为原点，建立如图的空间直角坐标系C-xyz，则C（0，0，0），D（3，0，0），B（0，3，0），E（0，0，3），F（1，0，2）．A（1，3，0），利用向量法求解．

解答 解：∵EC⊥底面ABCD，AB⊥BC，AB∥CD，∴CB，CE，CD两两垂直，
故以C为原点，建立如图的空间直角坐标系C-xyz，则C（0，0，0），
D（3，0，0），B（0，3，0），E（0，0，3），F（1，0，2）．A（1，3，0），
（1）证明：易得平面BCE的法向量为$\overrightarrow{m}=（1，0，0）$，$\overrightarrow{AF}=（0，-3，2）$
∵$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AF}=1×0+0×（-3）+0×2=0$，∴$\overrightarrow{AF}⊥\overrightarrow{m}$，
又AF?平面BCE，∴AF∥平面BCE；
（2）$\overrightarrow{AD}=（2，-3，0）$，$\overrightarrow{AE}=（-1，-3，3）$
设平面ADE的法向量为$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AD}=2x-3y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}=-x-3y+3z=0}\end{array}\right.$，可取$\overrightarrow{n}=（3，2，3）$
cos$＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{3}{1×\sqrt{22}}$=$\frac{3\sqrt{22}}{22}$
∴平面ADE与平面BCE所成锐二面角的余弦值为$\frac{3\sqrt{22}}{22}$．

点评 本题考查了向量法求证线面平行、向量法求二面角，属于中档题．