Question

7．已知三棱锥S-ABC的底面△ABC为正三角形，顶点在底面上的射影为底面的中心，M，N分别是棱SC，BC的中点，且MN⊥AM，若侧棱$SA=2\sqrt{3}$，则三棱锥S-ABC的外接球的表面积是（　　）

• A． 12π
• B． 32π
• C． 36π
• D． 48π

Answer 1

分析 由题意推出MN⊥平面SAC，即SB⊥平面SAC，∠ASB=∠BSC=∠ASC=90°，将此三棱锥补成正方体，则它们有相同的外接球，正方体的对角线就是球的直径，求出直径即可求出球的表面积积．

解答 解：∵M，N分别为棱SC，BC的中点，∴MN∥SB
∵三棱锥S-ABC为正棱锥，
∴SB⊥AC（对棱互相垂直），∴MN⊥AC
又∵MN⊥AM，而AM∩AC=A，
∴MN⊥平面SAC，∴SB⊥平面SAC
∴∠ASB=∠BSC=∠ASC=90°
以SA，SB，SC为从同一定点S出发的正方体三条棱，
将此三棱锥补成以正方体，则它们有相同的外接球，
正方体的对角线就是球的直径．∴2R=$\sqrt{3}$SA=6，∴R=3，
∴S=4πR²=36π．
故选：C

点评 本题考查了三棱锥的外接球的体积，考查空间想象能力．三棱锥扩展为正方体，它的对角线长就是外接球的直径，是解决本题的关键．