Question

8．已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，点E，F分别是棱BC，CC₁的中点，Q是侧面BCC₁B₁内一点，若A₁Q∥平面AEF，则点Q的轨迹为（　　）

• A． 一个点
• B． 两个点
• C． 一条线段
• D． 两条线段

Answer 1

分析 分别取棱BB₁、B₁C₁的中点M、N，连接MN，易证平面A₁MN∥平面AEF，由题意知点Q必在线段MN上．

解答 解：如下图所示：
分别取棱BB₁、B₁C₁的中点M、N，连接MN，连接BC₁，
∵M、N、E、F为所在棱的中点，∴MN∥BC₁，EF∥BC₁，
∴MN∥EF，又MN?平面AEF，EF?平面AEF，
∴MN∥平面AEF；
∵AA₁∥NE，AA₁=NE，∴四边形AENA₁为平行四边形，
∴A₁N∥AE，又A₁N?平面AEF，AE?平面AEF，
∴A₁N∥平面AEF，
又A₁N∩MN=N，∴平面A₁MN∥平面AEF，
∵Q是侧面BCC₁B₁内一点，且A₁Q∥平面AEF，
则Q必在线段MN上．
故选C．

点评 本题考查考查学生的运算能力及推理转化能力，属中档题，解决本题的关键是通过构造平行平面寻找Q点位置．