Question

10．如图＜1＞：在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC=2，AD=6，CE⊥AD于E点，把△DEC沿CE折到D′EC的位置，使D′A=2$\sqrt{3}$，如图＜2＞：若G，H分别为D′B，D′E的中点．
（1）求证：GH⊥平面AD′C；
（2）求平面D′AB与平面D′CE的夹角．

Answer 1

分析 （1）证明BE⊥面ACD′，GH∥BE，即可得到GH⊥平面AD′C．
（2）如图过点D′作直线m∥AB，由AB∥EC，得直线m就是面D′AB与平面D′CE的交线，可得∠AD′E就是平面D′AB与平面D′CE的夹角的平面角，

解答 证明：（1）∵在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC=2，AD=6，CE⊥AD于E点，
把△DEC沿CE折到D′EC的位置，使D′A=2$\sqrt{3}$，
∴AE=CE=2，D′E=6-2=4，∴D′A²+AE²=D′E²，CD′=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=$2\sqrt{5}$，
∴AD′⊥AE，∵AD′⊥AB，AD′∩AB=A，∴AD′⊥平面ABCE，∴面AD′C⊥ABCE，又因为ABCE是正方形，∴BE⊥AC，
⇒BE⊥面ACD′，∵G，H分别为D′B，D′E的中点，∴GH∥BE，∴GH⊥平面AD′C；
（2）如图过点D′作直线m∥AB，∵AB∥EC，∴直线m就是面D′AB与平面D′CE的交线，
∵CE⊥AE，面AED′⊥面ABCE于AE，∴CE⊥D′E，即D′E⊥m，
∵AD′⊥AB，∴AD′⊥m，∵AD′?面AD′B，D′E?D′CE，∴∠AD′E就是平面D′AB与平面D′CE的夹角的平面角，
在直角三角形AD′E中，AE=2，D′E=4，可得，∴∠AD′E=30°．
平面D′AB与平面D′CE的夹角为30⁰

点评 本题考查了空间线面垂直的判定，及定义法求二面角，属于中档题．