Question

2．已知f（x）=ax-blnx，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=x+1．
（1）求函数f（x）单调区间；
（2）对任意x≥1，f（x）≥kx恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，得到关于a，b的方程组，求出a，b的值，求出函数的单调区间即可；
（2）问题转化为k≤2-$\frac{lnx}{x}$在x≥1时恒成立，设g（x）=2-$\frac{lnx}{x}$，x≥1，根据函数的单调性求出k的范围即可．

解答 解：（1）由题意得：f′（x）=a-$\frac{b}{x}$，（x＞0），
而曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=x+1，
故$\left\{\begin{array}{l}{f（1）=2}\\{f′（1）=1}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=1}\end{array}\right.$，
∴f′（x）=2-$\frac{1}{x}$=$\frac{2x-1}{x}$，（x＞0），
令f′（x）＞0，解得：x＞$\frac{1}{2}$，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜$\frac{1}{2}$，
∴f（x）在（$\frac{1}{2}$，+∞）递增，在（0，$\frac{1}{2}$）递减；
（2）由（1）得：f（x）=2x-lnx，
∴f（x）≥kx即k≤2-$\frac{lnx}{x}$在x≥1时恒成立，
设g（x）=2-$\frac{lnx}{x}$，x≥1，
则g′（x）=$\frac{lnx-1}{{x}^{2}}$，
∴g（x）在（e，+∞）递增，在[1，e）递减，
故x=e时，g（x）有最小值2-$\frac{1}{e}$，
∴k≤2-$\frac{1}{e}$．

点评 本题考查了求出方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．