Question

6．（1）计算定积分$\int_{-4}^3{|x+2|}dx$
（2）求由曲线y=x²+2与y=3x，x=0，x=2所围成的平面图形的面积．

Answer 1

分析 （1）丨x+2丨=$\left\{\begin{array}{l}{x+2}&{-2＜x＜3}\\{-（x+2）}&{-4＜x＜-2}\end{array}\right.$，根据定积分的运算性质即可求得答案．
（2）求得曲线的交点坐标，利用定积分的几何意义可知：$S=\int_0^1{（{x^2}+2-3x}）dx+\int_1^2{（3x-{x^2}-2}）dx=1$，

解答 解：（1）由丨x+2丨=$\left\{\begin{array}{l}{x+2}&{-2＜x＜3}\\{-（x+2）}&{-4＜x＜-2}\end{array}\right.$，
∴$\int_{-4}^3{|x+2|}dx$=$-\int_{-4}^{-2}{（x+2）}dx+\int_{-2}^3{（x+2）}dx$，
=$-（\frac{1}{2}{x^2}+2x）|_{-4}^{-2}$+$（\frac{1}{2}{x^2}+2x）|_{-2}^3$，
=$\frac{29}{2}$；
（2）由$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}+2}\\{y=3x}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=6}\end{array}\right.$，
∴A（1，3），B（2，6），
则曲线y=x²+2与y=3x，x=0，x=2所围成的平面图形的面积为两部分，
由定积分的几何意义可知：S=${∫}_{0}^{1}$（x²+2-3x）dx+${∫}_{1}^{2}$（3x-x²-2）dx
=（$\frac{1}{3}$x³+2x-$\frac{3}{2}$x²）${丨}_{0}^{1}$+（$\frac{3}{2}$x²-$\frac{1}{3}$x³-2x）${丨}_{1}^{2}$=1，
∴曲线y=x²+2与y=3x，x=0，x=2所围成的平面图形的面积S=1．

点评 本题考查定积分的运算，考查定积分的几何意义，考查计算能力，属于中档题．