题目内容
已知向量
与
的夹角为θ，|
|=2，|
|=
．
（1）当
∥
时，求（(
-
)•(
+2
)的值；
（2）当θ=
时，求|2
-
|+(
+
)•(
-
)的值；
（3）定义
?
=|
|2-√3
•
，
?
≥7，求θ的取值范围．
| a |
| b |
| a |
| b |
| 3 |
（1）当
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
（2）当θ=
| 5π |
| 6 |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
（3）定义
| a |
| b |
| a |
| a |
| b |
| a |
| b |
考点：平面向量数量积的运算
专题：平面向量及应用
分析：由向量
与
的夹角为θ，|
|=2，|
|=
．利用数量积的定义可得：
•
=|
| |
|cosθ=2
cosθ．
（1）当
∥
时，cosθ=±1．利用数量积运算可得（(
-
)•(
+2
)=
2-2
2+
•
，代入即可．
（2）当θ=
时，cosθ=-
，利用数量积性质|2
-
|+(
+
)•(
-
)=
+
2-
2即可得出．
（3）利用新定义
?
≥7化为|
|2-
•
≥7，代入即可化为cosθ≤-
，再利用余弦函数的单调性即可得出．
| a |
| b |
| a |
| b |
| 3 |
| a |
| b |
| a |
| b |
| 3 |
（1）当
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
（2）当θ=
| 5π |
| 6 |
| ||
| 2 |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
4
|
| a |
| b |
（3）利用新定义
| a |
| b |
| a |
| 3 |
| a |
| b |
| 1 |
| 2 |
解答：
解：∵向量
与
的夹角为θ，|
|=2，|
|=
．
∴
•
=|
| |
|cosθ=2
cosθ．
（1）当
∥
时，cosθ=±1
．∴（(
-
)•(
+2
)=
2-2
2+
•
=22-2×(
)2±2
=-2±2
；
（2）当θ=
时，
|2
-
|+(
+
)•(
-
)=
+
2-
2
=
+22-(
)2
=
+1；
（3）∵
?
=|
|2-√3
•
，
∴
?
≥7化为|
|2-
•
≥7，
∴22-
×2×
cosθ≥7，
化为cosθ≤-
，
∵θ∈[0，π]，
∴
≤θ≤π．
∴θ的取值范围是[
，π]．
| a |
| b |
| a |
| b |
| 3 |
∴
| a |
| b |
| a |
| b |
| 3 |
（1）当
| a |
| b |
．∴（(
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
=22-2×(
| 3 |
| 3 |
| 3 |
（2）当θ=
| 5π |
| 6 |
|2
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
4
|
| a |
| b |
=
4×22+(
|
| 3 |
=
| 31 |
（3）∵
| a |
| b |
| a |
| a |
| b |
∴
| a |
| b |
| a |
| 3 |
| a |
| b |
∴22-
| 3 |
| 3 |
化为cosθ≤-
| 1 |
| 2 |
∵θ∈[0，π]，
∴
| 2π |
| 3 |
∴θ的取值范围是[
| 2π |
| 3 |
点评：本题考查了数量积的运算性质及其新定义，考查了推理能力和计算能力，属于基础题．
练习册系列答案
天天向上一本好卷系列答案
小学生10分钟应用题系列答案
相关题目
如图所示，已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面边长为2
如图，在圆O中，O为圆心，AB为圆的一条弦，AB=6，则