Question

3．椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的两焦点为F₁、F₂，P为椭圆上的动点，若△PF₁F₂最大面积为$\frac{a^2}{2}$，则其离心率为（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• C． $\frac{1}{3}$
• D． $\frac{{\sqrt{2}}}{3}$

Answer 1

分析 由于△PF₁F₂最大面积为$\frac{1}{2}|{F}_{1}{F}_{2}|$•b=bc，可得bc=$\frac{a^2}{2}$，化简即可得出．

解答 解：∵△PF₁F₂最大面积为$\frac{1}{2}|{F}_{1}{F}_{2}|$•b=bc，
∴bc=$\frac{a^2}{2}$，
∴4（a²-c²）c²=a⁴，
化为：4e⁴-4e²+1=0，
解得e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故选：B．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．