Question

15．若函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f（x）=x²+2x．
（1）写出函数f（x）（x∈R）的解析式．
（2）若函数g（x）=f（x）-2（a-1）x+2（x∈[1，2]），求函数g（x）的最小值．

Answer 1

分析 （1）当x＞0时，-x＜0，从而利用奇偶性可求得f（x）=f（-x）=x²-2x；
（2）当x∈[1，2]时，化简g（x）=x²-2ax+2，从而由二次函数的性质讨论以确定最小值即可．

解答 解：（1）当x＞0时，-x＜0，
故f（x）=f（-x）=x²-2x，
故f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2x，x≤0}\\{{x}^{2}-2x，x＞0}\end{array}\right.$；
（2）当x∈[1，2]时，
g（x）=f（x）-2（a-1）x+2
=x²-2x-2（a-1）x+2
=x²-2ax+2，
①当a≤1时，由二次函数的性质可知，
g（x）在[1，2]上是增函数，
故g_min（x）=g（1）=1-2a+2=3-2a；
②当1＜a＜2时，由二次函数的性质可知，
g（x）的对称轴x=a在[1，2]上，
故g_min（x）=g（a）=-a²+2；
③当a≥2时，由二次函数的性质可知，
g（x）在[1，2]上是减函数，
故g_min（x）=g（2）=4-4a+2=6-4a．
综上所述，
g_min（x）=$\left\{\begin{array}{l}{3-2a，a≤1}\\{2-{a}^{2}，1＜a＜2}\\{6-4a，a≥2}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了二次函数的性质的应用及分段函数的应用，考查了分类讨论的思想，关键在于根据对称轴分类．