Question

8．已知函数f（x）=x²+bx+c．
（1）当b=c=0时，曲线f（x）的一条切线的斜率是2，求切点坐标及切线方程；
（2）若f（x）在x=-1处有极值2，求b，c的值．

Answer 1

分析 （1）当b=c=0时，求出函数的导数，利用导数的几何意义即可得出．
（2）由函数f（x）=x²+bx+c在x=1处取得极值2，可得f（1）=2，f′（1）=0，可求得b，c的值；

解答 解：（1）当b=c=0时，函数f（x）=x²，设切点为P（x₀，y₀），∵y′=2x，切线的斜率为2．
∴2x₀=2，∴x₀=1，y₀=1²=1．
∴切点为P（1，1）．切线方程为：y-1=2（x-1），即2x-y-1=0．
（2）f（x）=x²+bx+c，f′（x）=2x+b，
由已知得：$\left\{\begin{array}{l}f′（1）=2+b=0\\ f（1）=1+b+c=2\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}b=-2\\ c=3\end{array}\right.$．

点评 考查函数在某点取得极值的条件和利用导数研究函数的切线方程，体现了解方程的思想方法，熟练掌握导数的几何意义是解题的关键．