Question

已知p：2x²-3x+1≤0，q：x²-（2a+1）x+a（a+1）≤0
（1）若a=

1

2

，且p∧q为真，求实数x的取值范围．
（2）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：复合命题的真假,必要条件、充分条件与充要条件的判断

专题：简易逻辑

分析：（1）先解出p，q下的不等式，从而得到p：

1

2

≤x≤1，q：a≤x≤a+1，所以a=

1

2

时，p：

1

2

≤x≤

3

2

．由p∧q为真知p，q都为真，所以求p，q下x取值范围的交集即得实数x的取值范围；
（2）由p是q的充分不必要条件便可得到

a≤ 1 2 a+1≥1

，解该不等式组即得实数a的取值范围．

解答： 解：p：

1

2

≤x≤1，q：a≤x≤a+1；
∴（1）若a=

1

2

，则q：

1

2

≤x≤

3

2

；
∵p∧q为真，∴p，q都为真；
∴

1 2 ≤x≤1 1 2 ≤x≤ 3 2

，∴

1

2

≤x≤1；
∴实数x的取值范围为[

1

2

，1]；
（2）若p是q的充分不必要条件，即由p能得到q，而由q得不到p；
∴

a≤ 1 2 a+1≥1

，∴0≤a≤

1

2

；
∴实数a的取值范围为[0，

1

2

]．

点评：考查解一元二次不等式，p∧q真假和p，q真假的关系，以及充分不必要条件的概念．