Question

11．已知抛物线C：y²=2px（p＞0），其焦点F到准线的距离为2，直线l与抛物线C相交于不同于原点的两点A，B．
（1）求抛物线C的方程；
（2）若以AB为直径的圆恒过原点O，求证：直线l过定点；
（3）若直线l过抛物线C的焦点F，求△OAB面积的取值范围（O为坐标原点）．

Answer 1

分析 （1）焦点F到准线的距离为2，可得p=2．即可得出抛物线C的方程．
（2）设直线l的方程为：x=my+t（t≠0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．与抛物线方程联立化为：y²-4my-4t=0，由以AB为直径的圆恒过原点O，可得$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=0，利用根与系数的关系可得t，即可得出．
（3）由直线l过抛物线C的焦点F，设直线l的方程为：x=my+1，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．与抛物线方程联立化为：y²-4my-4=0，利用根与系数的关系可得：|y₁-y₂|=$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$．△OAB面积S=$\frac{1}{2}$|OF||y₁-y₂|．

解答 （1）解：∵焦点F到准线的距离为2，∴p=2．
∴抛物线C的方程为y²=4x．
（2）证明：设直线l的方程为：x=my+t（t≠0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{x=my+t}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，化为：y²-4my-4t=0，
△＞0，∴y₁+y₂=4m，y₁•y₂=-4t．
∵以AB为直径的圆恒过原点O，
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=0，
又x₁x₂=（my₁+t）（my₂+t），
∴（m²+1）•y₁y₂+mt（y₁+y₂）+t²=0，
∴-4t（m²+1）+4m²t+t²=0，
化为t²-4t=0，t≠0，
解得t=4．
∴直线l的方程为：x=my+4．
令y=0，可得x=4．因此直线l恒过定点（4，0）．
（3）解：直线l过抛物线C的焦点F，设直线l的方程为：x=my+1，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{x=my+1}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，化为：y²-4my-4=0，
△＞0，∴y₁+y₂=4m，y₁•y₂=-4．
|y₁-y₂|=$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\sqrt{16{m}^{2}+16}$=4$\sqrt{{m}^{2}+1}$．
∴△OAB面积S=$\frac{1}{2}$|OF||y₁-y₂|=$\frac{1}{2}×1×$4$\sqrt{{m}^{2}+1}$=2$\sqrt{{m}^{2}+1}$≥2．当且仅当m=0，即l⊥x轴时，取得最小值2．
∴△OAB面积的取值范围是[2，+∞）．

点评 本题考查了抛物线的标准方程及其性质、直线与抛物线相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、三角形面积计算公式、二次函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．