Question

19．已知函数f₁（x）=|x-1|，f₂（x）=$\frac{1}{3}$x+1，g（x）=$\frac{{f}_{1}（x）+{f}_{2}（x）}{2}$+$\frac{|{f}_{1}（x）-{f}_{2}（x）|}{2}$，若a，b∈[-1，5]，且当x₁，x₂∈[a，b]（x₁≠x₂）时，$\frac{g（{x}_{1}）-g（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0恒成立，则b-a的最大值为5．

Answer 1

分析 由题意可得，g（x）=max{f（x₁），f（x₂）}，作出函数g（x）的图象，$\frac{g（{x}_{1}）-g（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0恒成立等价于函数为增函数，由图象得答案．

解答 解：由f₁（x）=|x-1|，f₂（x）=$\frac{1}{3}$x+1，g（x）=$\frac{{f}_{1}（x）+{f}_{2}（x）}{2}$+$\frac{|{f}_{1}（x）-{f}_{2}（x）|}{2}$，
得g（x）=max{f（x₁），f（x₂）}，作出函数g（x）的图象如图：

若a，b∈[-1，5]，且当x₁，x₂∈[a，b]（x₁≠x₂）时，$\frac{g（{x}_{1}）-g（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0恒成立，
等价于函数g（x）为增函数，
由图可知，x∈[0，5]，则（b-a）_max=5．
故答案为：5．

点评 本题考查函数的值域及单调性，考查了数学转化思想方法和数形结合的解题思想方法，正确理解题意是解答该题的关键，是中档题．