Question

6．记数列{a_n}的前n项和为S_n，满足2a_n+1+S_n-2=0（n∈N^*），且a₁=1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若{S_n+λ•n+$\frac{λ}{{2}^{n}}$}为等差数列，求出λ的值．

Answer 1

分析 （1）由 2a_n+1+S_n-2=0，得2a₂+a₁=2，得到a₂=$\frac{1}{2}$，由2a_n+1+S_n=2，2a_n+S_n-1=2（n≥2）相减，数列{a_n}从第二项开始，是以为$\frac{1}{2}$首项，以$\frac{1}{2}$为公比的等比数列，得到通项公式；
（2）若{S_n+λ•n+$\frac{λ}{{2}^{n}}$}为等差数列，分别取n=1，2，3，利用等差中项得到关于λ的方程解之即可．

解答 解：（1）由已知得到 2a_n+1+S_n=2，得2a₂+a₁=2，
又a₁=1，
∴a₂=$\frac{1}{2}$，
由2a_n+1+S_n=2，2a_n+S_n-1=2（n≥2）相减，
可得2a_n+1-a_n=0，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=\frac{1}{2}$．
又a₂=$\frac{1}{2}$，
∴数列{a_n}是以为1首项，以$\frac{1}{2}$为公比的等比数列，
∴a_n=$（\frac{1}{2}）^{n-1}$；
（2）若{S_n+λ•n+$\frac{λ}{{2}^{n}}$}为等差数列，则2（S₂+2λ+$\frac{λ}{4}$）=（S₁+λ+$\frac{λ}{2}$）+（S₃+3λ+$\frac{λ}{8}$），整理得λ=2．

点评 本题考查了递推式的应用、等比数列的通项公式，等差中项，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．