Question

16．在平面直角坐标系xOy中，已知点P为函数y=2lnx的图象与圆M：（x-3）²+y²=r²的公共点，且它们在点P处有公切线，若二次函数y=f（x）的图象经过点O，P，M，则y=f（x）的最大值为$\frac{9}{8}$．

Answer 1

分析 设P（x₀，y₀），求得y=2lnx的导数，可得切线的斜率和切线方程；求得圆上一点的切线方程，由直线重合的条件，可得二次函数y=$\frac{1}{2}$x（3-x），满足经过点P，O，M，即可得到所求最大值．

解答 解：设P（x₀，y₀），函数y=2lnx的导数为y′=$\frac{2}{x}$，
函数y=2lnx在点P处的切线方程为y-y₀=$\frac{2}{{x}_{0}}$（x-x₀），
即为$\frac{2}{{x}_{0}}$x-y+y₀-2=0；
圆M：（x-3）²+y²=r²的上点P处的切线方程为（x₀-3）（x-3）+yy₀=r²，
即有（x₀-3）x+yy₀+9-3x₀-r²=0；
由切线重合，可得
$\frac{2}{{x}_{0}-3}$=$\frac{-{x}_{0}}{{y}_{0}}$=$\frac{{x}_{0}（{y}_{0}-2）}{9-3{x}_{0}-{r}^{2}}$，
即x₀（3-x₀）=2y₀，
则P为二次函数y=$\frac{1}{2}$x（3-x）图象上的点，
且该二次函数图象过O，M，
则当x=$\frac{3}{2}$时，二次函数取得最大值$\frac{9}{8}$，
故答案为：$\frac{9}{8}$．

点评 本题考查圆的方程、导数的几何意义和二次函数的最值的求法，考查运算能力，属于中档题．