Question

已知数列{a_n}中，a1=1，an+1=(1+

1

n2

)an+

1

3n-1

，n∈N*．
（1）求证：当n≥2且n∈N^*时，a_n≥3；
（2）求证：a_n＜e³，n∈N^*（e为自然对数的底数，参考数据ln3＜1.1，ln4＜1.4）．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,数列递推式,数列与函数的综合,数学归纳法

专题：等差数列与等比数列,点列、递归数列与数学归纳法

分析：（ I）证明：方法一：通过已知条件以及an+1=(1+

1

n2

)an+

1

3n-1

，推出a_n＞0，化简a_n+1-a_n得到an+1＞an(n∈N*)，然后证明a_n≥3（n≥2）．
方法二：利用数学归纳法的步骤直接证明即可．
（ II）证明：由（ I）推出a_n+1≤(1+

1

n2

+

1

3n-1

)an，两边取自然对数得lnan+1≤lnan+ln(1+

1

n2

+

1

3n-1

)，构造f（x）=ln（1+x）-x（x≥0），求解导数f′(x)=

1

1+x

-1=

-x

1+x

＜0恒成立，转化为f（x）为[0，+∞）上的减函数，通过放缩法得到lna_n+1-lna_n＜

1

n-1

-

1

n

+

1

3n-1

（n≥2），通过求和与放缩推出lnan-lna2＜

3

2

（n≥3），然后证明an＜e3（n∈N^*）．

解答： （本小题满分12分）
（ I）证明：方法一：
∵a₁=1＞0，由an+1=(1+

1

n2

)an+

1

3n-1

得a₂＞0，
于是易得a_n＞0．…（2分）
又an+1-an=

an

n2

+

1

3n-1

＞0(n∈N*)，即an+1＞an(n∈N*)又∵a₂=3，∴a_n≥a₂=3（n≥2）．…（4分）
方法二：数学归纳法
（1）当n=2时，a_n=a₂=3≥3，命题成立．…（1分）
（2）假设当n=k（n≥2）时命题成立，即a_k≥3，
当n=k+1时，ak+1=(1+

1

k2

)ak+

1

3k-1

=ak+

ak

k2

+

1

3k-1

＞ak≥3∴n=k+1时命题成立．…（3分）
由（1）（2）可知，当n≥2时，a_n≥3．…（4分）
（ II）证明：由（ I）知an+1=(1+

1

n2

)an+

1

3n-1

≤(1+

1

n2

)an+

an

3n-1

=(1+

1

n2

+

1

3n-1

)an，…（5分）
两边取自然对数得：lnan+1≤lnan+ln(1+

1

n2

+

1

3n-1

)．…（6分）
令f（x）=ln（1+x）-x（x≥0），
则当x＞0时，f′(x)=

1

1+x

-1=

-x

1+x

＜0恒成立，
∴f（x）为[0．+∞）上的减函数，∴f（x）≤f（0）=0∴ln（1+x）＜x在x＞0时恒成立，…（7分）lnan+1＜lnan+

1

n2

+

1

3n-1

＜lnan+

1

n(n-1)

+

1

3n-1

=lnan+

1

n-1

-

1

n

+

1

3n-1

即lna_n+1-lna_n＜

1

n-1

-

1

n

+

1

3n-1

（n≥2），…（9分）
故，lnan-lnan-1＜

1

n-2

-

1

n-1

+

1

3n-2

，lnan-1-lnan-2＜

1

n-3

-

1

n-2

+

1

3n-3

…lna3-lna2＜1-

1

2

+

1

3

，以上各式相加得：lnan-lna2＜1-

1

n-1

+

1 3 [1-( 1 3 )n-2]

1- 1 3

＜1+

1

2

=

3

2

，（n≥3）…（10分）
又∵a₂=3，∴lnan＜

3

2

+ln3＜3，∴an＜e3（n≥3），…（11分）
又∵a₁=1＜e³，a₂=3＜e³，
∴an＜e3（n∈N^*）．…（12分）

点评：本题考查数列与不等式的综合应用，数列与函数的综合应用，数学归纳法的证明方法，放缩法的证明方法，数列的求和，考查分析问题解决问题的能力，转化思想的应用，是难题．