Question

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c．设向量

m

=(a，cosB)，

n

=(b，cosA)，且

m

∥

n

，

m

≠

n

．求sinA+sinB的取值范围．

Answer 1

考点：正弦定理

专题：三角函数的求值,解三角形

分析：由已知可得acosA=bcosB，由正弦定理，即sin2A=sin2B，又

m

≠

n

，可得A+B=

π

2

，由sinA+sinB=

2

sin（A+

π

4

），即可求sinA+sinB的取值范围．

解答： 解：∵向量

m

=(a，cosB)，

n

=(b，cosA)，且

m

∥

n

，

m

≠

n

．
∴acosA=bcosB，…2分
由正弦定理，得sinAcosA=sinBcosB，
即sin2A=sin2B…4分
又

m

≠

n

，所以2A+2B=π，即A+B=

π

2

…6分
sinA+sinB=sinA+sin（

π

2

-A）=sinA+cosA=

2

sin（A+

π

4

）…8分
∵0＜A＜

π

2

，∴

π

4

＜A+

π

4

＜

3π

4

，…10分
∴1＜

2

sin（A+

π

4

）≤

2

…12分
因此sinA+sinB的取值范围是（1，

2

]…14分

点评：本题主要考查了正弦定理的应用，三角形的解法，属于基本知识的考查．