Question

12．已知正项数列{a_n}的首项a₁=1，且对一切的正整数n，均有：（n+1）a_n+1-na_n²+（n+1）a_na_n+1-na_n=0，则数
列{a_n}的通项公式a_n=$\frac{1}{n}$．

Answer 1

分析 由$（n+1）{a_{n+1}}-na_n^2+（n+1）{a_n}{a_{n+1}}-n{a_n}=0$，可得$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{n}{n+1}$，再利用“累乘求积”即可得出．

解答 解：由$（n+1）{a_{n+1}}-na_n^2+（n+1）{a_n}{a_{n+1}}-n{a_n}=0$，
∴（n+1）a_n+1（1+a_n）-na_n（1+a_n）=0，
∴（1+a_n）[（n+1）a_n+1-na_n]=0，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{n}{n+1}$，
则$\frac{a_n}{{{a_{n-1}}}}•\frac{{{a_{n-1}}}}{{{a_{n-2}}}}…\frac{a_2}{a_1}=\frac{n-1}{n}•\frac{n-2}{n-1}…\frac{1}{2}$，
∴a_n=$\frac{1}{n}$．
故答案为：$\frac{1}{n}$．

点评 本题考查了数列递推关系、“累乘求积”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．