Question

已知函数f（x）=x²+2ax+b（b＜a＜1），f（1）=0，且方程f（x）+1=0有实根．
（1）求证：-3＜b≤-1且a≥0；
（2）若m是方程f（x）+1=0的一个实根，判断f（m-4）的正负，并说明理由．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：利用根的存在性与系数的关系得到关于a 的不等式解之；
利用根与系数的关系解答．

解答： 解：（1）∵f（1）=0，
∴1+2a+b=0，
∴b=-2a-1＜a，可得a＞-

1

3

，
又f（x）+1=0有实根，
∴（2a）²+8a≥0 可得a≥0或a≤-2
综上可得1＞a≥0
又b=-2a-1
∴-3＜b≤-1
（2）设方程f（x）+1=0方程两根为x₁，x₂，（x_1＞x₂），(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=4a²+8a，
∵0≤a＜1
∴x1-x2＜

12

＜4，
∴f（m-4）＞0．

点评：本题考查了二次函数与一元二次方程根与系数的关系．