Question

已知函数y=f（x）满足下列条件：（1）对?x∈R，函数y=f（x）的导数f′（x）＜0恒成立；（2）函数y=f（x+2）的图象关于点（-2，0）对称；对?x、y∈R有f（x²-8x+21）+f（y²-6y）＞0恒成立．则当0＜x＜4时，x²+y²的取值范围为（　　）

• A、（3，7）
• B、（9，25）
• C、[9，41）
• D、（9，49）

Answer 1

考点：导数的运算,利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：由（1）可得函数f（x）在R上单调递减；由（2）可得函数f（x）为减函数；已知对?x、y∈R有f（x²-8x+21）+f（y²-6y）＞0恒成立，化为f（x²-8x+21）＞-f（y²-6y）=f（6y-y²）．可得x²-8x+21＜6y-y²，化为（x-4）²+（y-3）²＜4．圆心C（4，3），半径R=2．可得x²+y²≥（|OC|-R）²=9．直线x=4与圆（x-4）²+（y-3）²=4相交于点P（4，1），Q（4，5）．x²+y²＜|OQ|²=41．即可得出．

解答： 解：由（1）对?x∈R，函数y=f（x）的导数f′（x）＜0恒成立，可得函数f（x）在R上单调递减；
由（2）函数y=f（x+2）的图象关于点（-2，0）对称，∴函数f（x）为奇函数；
∴对?x、y∈R有f（x²-8x+21）+f（y²-6y）＞0恒成立，化为f（x²-8x+21）＞-f（y²-6y）=f（6y-y²）．
∴x²-8x+21＜6y-y²，
化为（x-4）²+（y-3）²＜4．圆心C（4，3），半径R=2．
∴x²+y²＞（|OC|-R）²=9．
直线x=4与圆（x-4）²+（y-3）²=4相交于点P（4，1），Q（4，5）．
∴x²+y²＜|OQ|²=41．
∴则当0＜x＜4时，x²+y²的取值范围为（9，41）．
故选：C．

点评：本题综合考查了函数的奇偶性、单调性、点与圆的位置关系、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．