Question

10．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是梯形，AB∥CD，PD⊥平面ABCD，BD⊥DC，PD=BD=DC=$\frac{1}{2}$AB，E为PC中点．
（ I）证明：平面BDE⊥平面PBC；
（ II）若V_P-ABCD=$\sqrt{2}$，求点A到平面PBC的距离．

Answer 1

分析 （I）根据三线合一可得PC⊥DE，PC⊥BE，故而PC⊥平面BDE，于是平面BDE⊥平面PBC；
（II）根据棱锥的体积计算PD，根据V_P-ABC=V_A-PBC列方程解出A到平面PBC的距离．

解答 证明：（I）PD⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，BD?平面ABCD，
∴PD⊥CD，PD⊥DB，又BD⊥DC，
PD=DC=DB，
∴PC=PB=BC，
∵E是PC的中点，
∴PC⊥DE，PC⊥BE，又DE∩BE=E，
∴PC⊥平面BDE，又PC?平面PBC，
∴平面BDE⊥平面PBC．
（Ⅱ）设PD=CD=BD=$\frac{1}{2}AB$=a，
∴S_{四边形ABCD}=$\frac{1}{2}×AB×BD+\frac{1}{2}×CD×BD$=$\frac{3}{2}$a²，
则V_P-ABCD=$\frac{1}{3}{S}_{四边形ABCD}•PD$=$\frac{{a}^{3}}{2}$=$\sqrt{2}$，∴a=$\sqrt{2}$．
∴PC=PD=BC=$\sqrt{2}$a=2，
∴S_△PBC=$\frac{\sqrt{3}}{4}×4$=$\sqrt{3}$，
又S_△ABC=$\frac{1}{2}×AB×BD$=2，∴V_P-ABC=$\frac{1}{3}{S}_{△ABC}•PD$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
设A到平面PBC的距离为h，则V_A-PBC=$\frac{1}{3}{S}_{△PBC}•h$=$\frac{\sqrt{3}}{3}h$．
∵V_P-ABC=V_A-PBC，∴$\frac{\sqrt{3}}{3}$h=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
解得h=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题考查了线面垂直、面面垂直的判定，棱锥的体积计算，点到平面的距离计算，属于中档题．