Question

5．设函数f（x）=|x²-2x-1|，若m＞n＞1，且f（m）=f（n），则（m-1）（n-1）的取值范围为（　　）

• A． （0，2）
• B． （0，2]
• C． （1，2）
• D． （1，2]

Answer 1

分析 作出f（x）的图象，判断m，n的范围，根据f（m）=f（n）和基本不等式即可得出答案．

解答 解：解方程x²-2x-1=0得x=1±$\sqrt{2}$，
∴当1-$\sqrt{2}$＜x＜1+$\sqrt{2}$时，x²-2x-1＜0，
当x$＜1-\sqrt{2}$或x$＞1+\sqrt{2}$时，x²-2x-1＞0，
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x-1，x＜1-\sqrt{2}或x＞1+\sqrt{2}}\\{-{x}^{2}+2x+1，1-\sqrt{2}≤x≤1+\sqrt{2}}\end{array}\right.$．
作出f（x）的函数图象如图所示：

∵m＞n＞1，且f（m）=f（n），
∴1$＜n＜1+\sqrt{2}$，m$＞1+\sqrt{2}$，
∴（m-1）（n-1）＞0，f（n）=-n²+2n+1，f（m）=m²-2m-1，
∵f（m）=f（n），
∴m²-2m-1+n²-2n-1=0，即（m-1）²+（n-1）²=4，
又（m-1）²+（n-1）²＞2（m-1）（n-1），
∴（m-1）（n-1）＜$\frac{1}{2}$[（m-1）²+（n-1）²]=2，
∴0＜（m-1）（n-1）＜2．
故选：A．

点评 本题考查了二次函数的性质，基本不等式的应用，属于中档题．