Question

6．已知数列 {a_n} 的前n项和是S_n且2S_n=2-a_n．
（Ⅰ）求数列{a_n} 的通项公式；
（Ⅱ）记b_n=n•a_n，求数列{b_n} 的前n项的和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用数列中a_n与 S_n关系：当n=1时，a₁=S₁，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1解决．得出3a_n=a_n-1，判定数列{a_n}是以$\frac{2}{3}$为首项，$\frac{1}{3}$为公比的等比数列．通项公式易求．
（Ⅱ）直接利用上面的结论求出数列{b_n}的通项公式，再利用错位相减法即可求出数列{b_n}的前n项和T_n．

解答 解：（Ⅰ）当n=1时，2S₁=2-a₁．2a₁=2-a₁，
∴a₁=$\frac{2}{3}$．
当n≥2时，2S_n=2-a_n．2S_n-1=2-a_n-1．两式相减得2a_n=a_n-1-a_n，
∴3a_n=a_n-1，∴数列{a_n}是以$\frac{2}{3}$为首项，$\frac{1}{3}$为公比的等比数列．       
∴a_n=$\frac{2}{3}$（$\frac{1}{3}$）^n-1=2（$\frac{1}{3}$）ⁿ
（Ⅱ）由（Ⅰ）知b_n=2n•（$\frac{1}{3}$）ⁿ，
则T_n=2×$\frac{1}{3}$+2×2×（$\frac{1}{3}$）²+2×3×（$\frac{1}{3}$）³+…+2n•（$\frac{1}{3}$）ⁿ，
$\frac{1}{3}$T_n=2×（$\frac{1}{3}$）²+2×2×（$\frac{1}{3}$）³+…+2（n-1）•（$\frac{1}{3}$）ⁿ+2n•（$\frac{1}{3}$）ⁿ⁺¹，
$\frac{2}{3}$T_n=2×$\frac{1}{3}$+2[（$\frac{1}{3}$）²+（$\frac{1}{3}$）³+…+（$\frac{1}{3}$）ⁿ]-2n•（$\frac{1}{3}$）ⁿ⁺¹=2×$\frac{\frac{1}{3}[1-（\frac{1}{3}）^{n}]}{1-\frac{1}{3}}$-2n•（$\frac{1}{3}$）ⁿ⁺¹=1-（$\frac{1}{3}$）ⁿ-2n•（$\frac{1}{3}$）．
∴T_n=$\frac{3}{2}$-$\frac{3+2n}{2}$-（$\frac{1}{3}$）ⁿ．

点评 本题主要考查数列求和的错位相减，错位相减法适用于通项为一等差数列乘一等比数列组成的新数列．此方法是数列求和部分高考考查的重点及热点．