Question

17．已知函数f（x）是定义在[-3，3]上的奇函数，当x∈[0，3]时，f（x）=log₂（x+1）．设函数g（x）=x²-2x+m，x∈[-3，3]．如果对于?x₁∈[-3，3]，?x₂∈[-3，3]，使得g（x₂）=f（x₁），则实数m的取值范围为（　　）

• A． [-13，-1]
• B． （-∞，-1]
• C． [-13，+∞）
• D． [1，13]

Answer 1

分析 根据函数f（x）是定义在[-3，3]上的奇函数，当x∈[0，3]时，f（x）=log₂（x+1）．求出f（x）在[-3，3]上的解析式，求出其值域．对于?x₁∈[-3，3]，?x₂∈[-3，3]，使得g（x₂）=f（x₁），则f（x）的值域是g（x）的值域的子集关系，求解即可．

解答 解：函数f（x）是定义在[-3，3]上的奇函数，当x∈[0，3]时，f（x）=log₂（x+1）．在其定义域内是增函数，
当x＜0时，-x＞0，则有：f（-x）=log₂（-x+1）．
∵f（x）是奇函数，
∴f（-x）=log₂（-x+1）=-f（x）
∴f（x）=-log₂（-x+1）=$lo{g}_{2}\frac{1}{1-x}$
所以f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{2}x+1，（0≤x≤3）}\\{lo{g}_{2}\frac{1}{1-x}，（-3≤x＜0）}\end{array}\right.$，在其定义域内[-3，3]是增函数，
∴f（x）的值域为[-2，2]
函数g（x）=x²-2x+m，x∈[-3，3]．开口向上，对称轴x=1，
所以：函数最小值为g（x）_min=m-1，最大值为g（x）_max=g（-3）=15+m．
故得g（x）的值域为[-2，2]．
对于?x₁∈[-3，3]，?x₂∈[-3，3]，使得g（x₂）=f（x₁），
则$\left\{\begin{array}{l}{m-1≤-2}\\{15+m≥2}\end{array}\right.$，
解得：-13≤m≤-1
故选：A．

点评 本题考查了分段函数的解析式和值域我的求法以及二次函数最值，恒成立问题转化为不等式求解．属于中档题．