Question

14．已知O为直角坐标系的原点，以Ox为始边作角α与β（0＜β＜α＜$\frac{3π}{2}$），α与β的终边分别与单位圆相交于P、Q两点．已知P点的坐标为（-$\frac{3}{5}$，-$\frac{4}{5}$）．
（1）先化简：$\frac{sinα}{1-\frac{1}{tanα}}$+$\frac{cosα}{1-tanα}$再求其值；
2）若$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=0，求$\frac{1}{2sinβcosβ+co{s}^{2}β}$的值．

Answer 1

分析 （1）由P点的坐标为（-$\frac{3}{5}$，-$\frac{4}{5}$），可得sinα=-$\frac{4}{5}$，cosα=-$\frac{3}{5}$，tanα=$\frac{4}{3}$．再利用同角三角函数基本关系式即可得出；
（2）由$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=0，可得$-\frac{3}{5}cosβ$-$\frac{4}{5}$sinβ=0，解得tanβ=$-\frac{3}{4}$．再利用同角三角函数基本关系式即可得出．

解答 解：（1）∵P点的坐标为（-$\frac{3}{5}$，-$\frac{4}{5}$），∴sinα=-$\frac{4}{5}$，cosα=-$\frac{3}{5}$，tanα=$\frac{4}{3}$．
∴$\frac{sinα}{1-\frac{1}{tanα}}$+$\frac{cosα}{1-tanα}$=$\frac{sinαtanα}{tanα-1}$-$\frac{cosα}{tanα-1}$=$\frac{cosαsinαtanα-cosαcosα}{sinα-cosα}$=$\frac{（sinα+cosα）（sinα-cosα）}{sinα-cosα}$=sinα+cosα=$-\frac{4}{5}-\frac{3}{5}$=-$\frac{7}{5}$．
（2）∵$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=0，∴$-\frac{3}{5}cosβ$-$\frac{4}{5}$sinβ=0，解得tanβ=$-\frac{3}{4}$．
∴$\frac{1}{2sinβcosβ+co{s}^{2}β}$=$\frac{si{n}^{2}β+co{s}^{2}β}{2sinβcosβ+co{s}^{2}β}$=$\frac{ta{n}^{2}β+1}{2tanβ+1}$=$\frac{（-\frac{3}{4}）^{2}+1}{2×（-\frac{3}{4}）+1}$=$\frac{25}{-8}$=-$\frac{25}{8}$．

点评 本题考查了三角函数的定义、同角三角函数基本关系式、三角函数的化简求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．