Question

2．已知函数f（x）=$\frac{1}{x+1}$（x∈（2，3]）．
（1）求证：函数是减函数；
（2）求函数的最值．

Answer 1

分析 （1）运用单调性的定义证明，注意作差、变形和定符号、下结论几个步骤；
（2）运用函数f（x）为（2，3]上的减函数，即可得到所求最值．

解答 解：（1）证明：设2＜m＜n≤3，即有f（m）-f（n）=$\frac{1}{1+m}$-$\frac{1}{1+n}$
=$\frac{n-m}{（1+m）（1+n）}$，
由2＜m＜n≤3，可得n-m＞0，（1+m）（1+n）＞0，
则f（m）＞f（n），则函数f（x）为（2，3]上的减函数；
（2）由函数f（x）为（2，3]上的减函数，
可得f（3）为最小值，且为$\frac{1}{4}$，无最大值．

点评 本题考查函数的带动下的证明，注意运用定义法，考查函数的最值的求法，运用函数的单调性，属于基础题．