Question

6．如图，在锐角△ABC中，D为AC边的中点，且BC=$\sqrt{2}BD=2\sqrt{2}$，O为△ABC外接圆的圆心，且cos∠AOC=-$\frac{3}{4}$．
（1）求∠ABC的余弦值，
（2）求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由圆的性质可知∠AOC=2∠ABC.2cos²∠ABC-1=-$\frac{3}{4}$．解得cos∠ABC．
（Ⅱ）过点C作CE∥BA，与DB的延长线交于点E，连接AE在△BCE中，由余弦定理解得CE=2，AB=2．可得△ABC的面积s=$\frac{1}{2}×2×2\sqrt{2}×\frac{\sqrt{14}}{4}=\sqrt{7}$．

解答 解：（Ⅰ）由圆的性质可知∠AOC=2∠ABC．
∵cos∠AOC=-$\frac{3}{4}$．∴2cos²∠ABC-1=-$\frac{3}{4}$．
解得cos∠ABC=$\frac{\sqrt{2}}{4}$．
（Ⅱ）过点C作CE∥BA，与DB的延长线交于点E，连接AE
又∵D为AC边的中点，所以D为平行四边形ABCE对角线的交点．
∴cos∠BCE=-cos∠ABC=-$\frac{\sqrt{2}}{4}$．
在△BCE中，BC=2$\sqrt{2}$，BE=2DB=4，cos∠BCE=-$\frac{\sqrt{2}}{4}$．
由余弦定理得BE²=BC²+CE²-2×BC×CE×cos∠BCE，
解得CE=2，∴AB=2．
∵cos∠ABC=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，∴$sin∠ABC=\frac{\sqrt{14}}{4}$
∴△ABC的面积s=$\frac{1}{2}×2×2\sqrt{2}×\frac{\sqrt{14}}{4}=\sqrt{7}$．

点评 本题考查了正余弦定理的应用，三角形的面积计算，添加辅助线对条件进行转化，属于中档题．