Question

14．己知椭圆C：$\frac{x^2}{4}+{y^2}$=1，点O是坐标原点，点P是椭圆C上任意一点，且点M满足$\overrightarrow{OM}=λ\overrightarrow{OP}$（λ＞1，λ是常数）．当点P在椭圆C上运动时，点M形成的曲线为C_λ．
（I）求曲线C_λ的轨迹方程；
（II）直线l是椭圆C在点P处的切线，与曲线C_λ的交点为A，B两点，探究△OAB的面积是否为定值．若是，求△OAB的面积，若不是，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设点M的坐标为（x，y），对应的点P的坐标为（$\frac{x}{λ}$，$\frac{y}{λ}$），由点P在椭圆C上得曲线C_λ的轨迹方程为$\frac{{x}^{2}}{4{λ}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{λ}^{2}}=1，（λ＞1）$．
（Ⅱ）由△=0，得过点A（x₁，y₁）的切线方程为$\frac{{x}_{1}x}{4}+{y}_{1}y=1$，设切点A（x₂，y₂），B（x₃，y₃）
联立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}_{1}}{4}x+{y}_{1}y=1}\\{\frac{{x}^{2}}{4{λ}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{λ}^{2}}=1}\end{array}\right.$，结合$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}+{{y}_{1}}^{2}=1$得4x²-8x₁x+16-16${{y}_{1}}^{2}{λ}^{2}$=0，可得|AB|=$\sqrt{1+（-\frac{{x}_{1}}{4{y}_{1}}）^{2}}$×|x₃-x₄|，原点O到直线AB的距离d=$\frac{1}{\sqrt{\frac{{{x}_{1}}^{2}}{16}+{{y}_{1}}^{2}}}=\frac{4}{\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+16{{y}_{1}}^{2}}}$，△OAB的面积s=$\frac{1}{2}×$|AB|×d=$\frac{1}{2}×$$\sqrt{16{{y}_{1}}^{2}+{{x}_{1}}^{2}}•\sqrt{{λ}^{2}-1}$×$\frac{4}{\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+16{{y}_{1}}^{2}}}$=2$\sqrt{{λ}^{2}-1}$（定值）

解答 解：（Ⅰ）设点M的坐标为（x，y），对应的点P的坐标为（$\frac{x}{λ}$，$\frac{y}{λ}$）
由于点P在椭圆C上，得，$\frac{（\frac{x}{λ}）^{2}}{4}+（\frac{y}{λ}）^{2}=1$
即曲线C_λ的轨迹是椭圆，标准方程为$\frac{{x}^{2}}{4{λ}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{λ}^{2}}=1，（λ＞1）$．
（Ⅱ）①当过点P（x₁，y₁）切线的斜率存在时，
设该切线的方程为y-y₁=k（x-x₁），即y=kx+（y₁-kx₁）
联立y=kx+（y₁-kx₁）、椭圆C：$\frac{x^2}{4}+{y^2}$=1
得（${k}^{2}+\frac{1}{4}$）x²+2k（y₁-kx₁）x+[（y₁-kx₁）²-1]=0
，由△=0，得1+4k²=[（y₁-kx₁）²，的k=-$\frac{{x}_{1}}{4{y}_{1}}$．
此时过点A（x₁，y₁）的切线方程为$\frac{{x}_{1}x}{4}+{y}_{1}y=1$
过点P切线的斜率不存在时，切点为（±2，0），方程为x=±2，
符合方程为$\frac{{x}_{1}x}{4}+{y}_{1}y=1$．
∴过点P的切线方程为$\frac{{x}_{1}x}{4}+{y}_{1}y=1$．
设A（x₂，y₂），B（x₃，y₃）
联立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}_{1}}{4}x+{y}_{1}y=1}\\{\frac{{x}^{2}}{4{λ}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{λ}^{2}}=1}\end{array}\right.$，结合$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}+{{y}_{1}}^{2}=1$得4x²-8x₁x+16-16${{y}_{1}}^{2}{λ}^{2}$=0
${x}_{3}+{x}_{4}=2{x}_{1}，{x}_{3}{x}_{4}=4-4{{y}_{1}}^{2}{λ}^{2}$
∴|AB|=$\sqrt{1+（-\frac{{x}_{1}}{4{y}_{1}}）^{2}}$×|x₃-x₄|=$\sqrt{16{{y}_{1}}^{2}+{{x}_{1}}^{2}}•\sqrt{{λ}^{2}-1}$．
原点O到直线AB的距离d=$\frac{1}{\sqrt{\frac{{{x}_{1}}^{2}}{16}+{{y}_{1}}^{2}}}=\frac{4}{\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+16{{y}_{1}}^{2}}}$
∴△OAB的面积s=$\frac{1}{2}×$|AB|×d=$\frac{1}{2}×$$\sqrt{16{{y}_{1}}^{2}+{{x}_{1}}^{2}}•\sqrt{{λ}^{2}-1}$×$\frac{4}{\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+16{{y}_{1}}^{2}}}$=2$\sqrt{{λ}^{2}-1}$（定值）
故△OAB的面积是定值2$\sqrt{{λ}^{2}-1}$

点评 本题考查了椭圆的方程与性质，椭圆的切线方程及用弦长、距离表示三角形面积，考查了方程思想、转化思想，属于难题．