Question

已知向量

a

、

b

满足|

a

|=2

2

，|

b

|=1，

a

•

b

=2，向量

c

满足（

a

-

c

）（

b

-

c

）=0，则|

c

|的最小值为

 

．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：解三角形,平面向量及应用

分析：设

OA

=

a

，

OB

=

b

，

OC

=

c

，根据已知条件知，∠AOB=

π

4

，

CA

⊥

CB

，并且C点在以AB为直径的圆上．若设AB中点为D，则当C在OD连线上时|

OC

|最小，即|

c

|最小，所以根据余弦定理，正弦定理即可求出|OD|，|CD|，从而求出|OC|，即求出了|

a

|的最小值．

解答： 解：由已知条件知，向量

a

，

b

的夹角为

π

4

，并且向量(

a

-

c

)⊥(

b

-

c

)；
可设

OA

=

a

，

OB

=

b

，

OC

=

c

，

a

-

c

=

CA

，

b

-

c

=

CB

，∴

CA

⊥

CB

，如图所示：
C点在以AB为直径的圆上，设AB中点为D；
∴当C点在OD连线上时，|

OC

|最小，即|

c

|最小；
△OAB中，|OA|=2

2

，|OB|=1，∠AOB=

π

4

，所以：
|AB|2=8+1-2•2

2

•1•

2

2

=5；
∴|AB|=

5

；
由正弦定理，

5

sin π 4

=

1

sin∠OAB

；
∴sin∠OAB=

10

10

；
∴cos∠OAB=

3 10

10

；
∴在△OAD中，由余弦定理得，|OD|2=8+

5

4

-2•2

2

•

5

2

•

3 10

10

=

13

4

；
∴|OD|=

13

2

；
∴|OC|=|OD|-|CD|=

13

2

-

5

2

=

13 - 5

2

．
即|

c

|的最小值为

13 - 5

2

．
故答案为：

13 - 5

2

．

点评：考查数量积的运算，直径所对圆周角为

π

2

，以及正弦定理、余弦定理的运用，数形结合的方法解题．