Question

11．已知函数f（x）=ln（x+1）+$\frac{a}{x+2}$．
（1）当a=$\frac{25}{4}$时，求f（x）的单调递减区间；
（2）若当x＞0时．f（x）＞1恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求导数，利用导数小于0，即可求f（x）的单调递减区间；
（2）由ln（x+1）+$\frac{a}{x+2}$＞1得a＞（x+2）-（x+2）ln（x+1），记g（x）=（x+2）[1-ln（x+1）]，确定函数的最值，即可求a的取值范围．

解答 解：（1）当a=$\frac{25}{4}$时，f′（x）=$\frac{（4x+3）（x-3）}{4（x+1）（x+2）^{2}}$（x＞-1）
令f′（x）＜0，可得-$\frac{3}{4}$＜x＜3，∴f（x）的单调递减区间为（-$\frac{3}{4}$，3）…（4分）
（2）由ln（x+1）+$\frac{a}{x+2}$＞1得a＞（x+2）-（x+2）ln（x+1）
记g（x）=（x+2）[1-ln（x+1）]，则g′（x）=1-ln（x+1）-$\frac{x+2}{x+1}$=-ln（x+1）-$\frac{1}{x+1}$
当x＞0时，g′（x）＜0，∴g（x）在（0，+∞）递减
又g（0）=2[1-ln1]=2，∴g（x）＜2（x＞0），∴a≥2．

点评 考查根据函数导数符号判断函数单调性，求函数单调区间的方法以及构造函数解决问题的方法，求函数单调区间时需注意函数的定义域．