Question

20．在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2\sqrt{2}cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），曲线 C₂的极坐标方程为ρcosθ-$\sqrt{2}$ρsinθ-4=0．
（1）求曲线C₁的普通方程和曲线  C₂的直角坐标方程；
（2）设P为曲线C₁上一点，Q为曲线 C₂上一点，求|PQ|的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用参数方程与普通方程，极坐标方程与直角坐标方程互化的方法，可得曲线C₁的普通方程和曲线  C₂的直角坐标方程；
（2）利用参数方法，求|PQ|的最小值．

解答 解：（1）由曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2\sqrt{2}cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），消去参数θ得，曲线C₁的普通方程得$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1．
由ρcosθ-$\sqrt{2}$ρsinθ-4=0得，曲线C₂的直角坐标方程为x-$\sqrt{2}$y-4=0…（5分）
（2）设P（2$\sqrt{2}$cosθ，2$\sqrt{2}$sinθ），则点P到曲线C₂的距离为d=$\frac{|2\sqrt{2}cosθ-2\sqrt{2}sinθ-4|}{\sqrt{1+2}}$
=$\frac{|4-4cos（θ+45°）|}{\sqrt{3}}$，…（8分）
当cos（θ+45°）=1时，d有最小值0，所以|PQ|的最小值为0…（10分）

点评 本题考查参数方程与普通方程，极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查点到直线距离公式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．