Question

1．已知函数$f（x）=\frac{{{3^x}+a}}{{{3^x}+1}}$为奇函数．
（1）求a的值；
（2）判断函数f（x）的单调性，并根据函数单调性的定义证明．

Answer 1

分析 （1）据题意，f（x）在原点有定义，并且f（x）为奇函数，从而有f（0）=0，这样即可求出a=-1；
（2）可分离常数得到$f（x）=1-\frac{2}{{3}^{x}+1}$，设任意的x₁＜x₂，然后作差，通分，便可得出f（x₁）＜f（x₂），从而得出f（x）的单调性．

解答 解：（1）∵函数f（x）是奇函数，且f（x）的定义域为R；
∴$f（0）=\frac{1+a}{1+1}=0$；
∴a=-1；
（2）f（x）=$\frac{{3}^{x}-1}{{3}^{x}+1}=1-\frac{2}{{3}^{x}+1}$；
函数f（x）在定义域R上单调递增．
理由：设x₁＜x₂，则：
$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=\frac{2（{3}^{{x}_{1}}-{3}^{{x}_{2}}）}{（{3}^{{x}_{1}}+1）（{3}^{{x}_{2}}+1）}$；
∵x₁＜x₂；
∴${3}^{{x}_{1}}＜{3}^{{x}_{2}}$；
∴${3}^{{x}_{1}}-{3}^{{x}_{2}}＜0$；
∴f（x₁）＜f（x₂）；
∴函数f（x）在定义域R上单调递增．

点评 考查奇函数的定义，奇函数在原点有定义时满足f（0）=0，以及函数单调性的定义．