Question

11．若对任意x＞0，$\frac{x}{{{x^2}+4x+1}}$≤a恒成立，则a的取值范围是a≥$\frac{1}{6}$．

Answer 1

分析 $\frac{x}{{{x^2}+4x+1}}$≤a恒成立，只需求出左式的最大值即可，根据函数的形式特点，可求出倒式的最值，进而求出原函数的最值．

解答 解：令$\frac{x}{{{x^2}+4x+1}}$=$\frac{1}{f（x）}$，
∴f（x）=x+$\frac{1}{x}$+4≥6（当x=1时，等号成立），
∴$\frac{1}{f（x）}$≤$\frac{1}{6}$，
∴a≥$\frac{1}{6}$，
故答案为a≥$\frac{1}{6}$．

点评 考查了恒成立问题的转化和函数最值的求法．注意方法的应用．