Question

已知A（

2

，0）、B（-

2

，0）两点，动点P在y轴上的射影为Q，

PA

•

PB

=2

PQ

²．
（1）求动点P的轨迹E的方程；
（2）设直线m过点A，斜率为k，当0＜k＜1时，曲线E的上支上有且仅有一点C到直线m的距离为

2

，试求k的值及此时点C的坐标．

Answer 1

考点：轨迹方程,直线与圆锥曲线的关系

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设出点P的坐标（x，y），求出题中所需要的向量代入

PA

•

PB

=2

PQ

²，即可得到x，y的关系式，即得到动点P的轨迹E的方程．
（2）设直线m：y=k（x-

2

）（0＜k＜1），依题意，点C在与直线m平行且与m之间的距离为

2

的直线上，设此直线为m₁：y=kx+b，利用曲线E的上支上有且仅有一点C到直线m的距离为

2

，可得

| 2 k+b|

k2+1

=

2

，把y=kx+b代入y²-x²=2，整理，△=4k²b²-4（k²-1）（b²-2）=0，即b²+2k²=2，求出k，b，由方程组

y= 2 5 5 x+ 10 5 y2-x2=2

求出点C的坐标．

解答： 解：（1）设动点P的坐标为（x，y），
则点Q（0，y），

PQ

=（-x，0），

PA

=（

2

-x，-y），

PB

=（-

2

-x，-y），

PA

•

PB

=x²-2+y²．
∵

PA

•

PB

=2

PQ

²，∴x²-2+y²=2x²，即动点P的轨迹方程为y²-x²=2．
（2）设直线m：y=k（x-

2

）（0＜k＜1），
依题意，点C在与直线m平行且与m之间的距离为

2

的直线上，设此直线为m₁：y=kx+b．
由

| 2 k+b|

k2+1

=

2

，即b²+2

2

kb=2．①
把y=kx+b代入y²-x²=2，整理，得（k²-1）x²+2kbx+（b²-2）=0，
则△=4k²b²-4（k²-1）（b²-2）=0，即b²+2k²=2．②
由①②，得k=

2 5

5

，b=

10

5

．
此时，由方程组

y= 2 5 5 x+ 10 5 y2-x2=2

，解得x=2

2

，y=

10

，即C（2

2

，

10

）．

点评：本题考查动点P的轨迹方程，考查向量知识的运用，考查直线与双曲线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．