Question

已知sinα-cosα=

2

2

，且α∈（-π，0），求sin²α-cos²α的值．

Answer 1

考点：二倍角的余弦,同角三角函数基本关系的运用

专题：三角函数的求值

分析：将sinα-cosα=

2

2

两边平方求出2sinαcosα，由α的范围和2sinαcosα的符号进一步缩小α的范围，再判断出sinα+cosα的符号，由平方关系求出sinα+cosα的值，利用平方差公式化简sin²α-cos²α，并代入数据求值．

解答： 解：由题意知，sinα-cosα=

2

2

，
两边平方得，1-2sinαcosα=

1

2

，即2sinαcosα=

1

2

＞0，
因为α∈（-π，0），所以α∈（-π，-

3π

2

），则sinα+cosα＜0，
所以sinα+cosα=-

(sinα+cosα)2

=-

1+2sinαcosα

=-

6

2

，
则sin²α-cos²α=（sinα-cosα）（sinα+cosα）=

2

2

×（-

6

2

）=-

3

2

．

点评：本题考查平方关系和平方差公式，以及sinα±cosα与2sinαcosα的关系，注意判断式子的符号，属于基础题．