Question

2．设x∈R，[x]表示不超过x的最大整数，若存在实数t，使得[t]=1，[t²]=2，…，[tⁿ]=n同时成立，则正整数n的最大值是4．

Answer 1

分析 由新定义可得t的范围，验证可得最大的正整数n为4．

解答 解：若[t]=1，则t∈[1，2），
若[t²]=2，则t∈[$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$）（因为题目需要同时成立，则负区间舍去），
若[t³]=3，则t∈[$\root{3}{3}$，$\root{3}{4}$），
若[t⁴]=4，则t∈[$\root{4}{4}$，$\root{4}{5}$），
若[t⁵]=5，则t∈[$\root{5}{5}$，$\root{5}{6}$），
其中$\sqrt{3}$≈1.732，$\root{3}{4}$≈1.587，$\root{4}{5}$≈1.495，$\root{5}{6}$≈1.431＜1.495，
通过上述可以发现，当t=4时，
可以找到实数t使其在区间[1，2）∩[$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$）∩[$\root{3}{3}$，$\root{3}{4}$）∩[$\root{4}{4}$，$\root{4}{5}$）上，
但当t=5时，无法找到实数t使其在区间[1，2）∩[$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$）∩[$\root{3}{3}$，$\root{3}{4}$）∩[$\root{4}{4}$，$\root{4}{5}$）∩[$\root{5}{5}$，$\root{5}{6}$）上，
∴正整数n的最大值4，
故答案为：4．

点评 本题考查简单的演绎推理，涉及新定义，属基础题．