Question

4．对任意函数f（x），x∈D，可按如图构造一个数列发生器，数列发生器产生数列{x_n}．
（1）若定义函数f（x）=$\frac{4x-2}{x+1}$，且输入x₀=$\frac{49}{65}$，请写出数列{x_n}的所有项；
（2）若定义函数f（x）=2x+3，且输入x₀=-1，求数列{x_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （1）函数f（x）=$\frac{4x-2}{x+1}$的定义域D=（-∞，-1）∪（-1，+∞），由此能推导出数列{x_n}只有三项x1=$\frac{11}{19}$，x2=$\frac{1}{5}$，x3=-1．
（2）f（x）=2x+3的定义域为R，若x₀=-1，则x₁=1，则x_n+1+3=2（x_n+3），从而得到数列{x_n+3}是首项为4，公比为2的等比数列，由此能求出数列{x_n}的通项公式．

解答 解：（1）函数f（x）=$\frac{4x-2}{x+1}$的定义域D=（-∞，-1）∪（-1，+∞），…（1分）
把x₀=$\frac{49}{65}$代入可得x1=$\frac{11}{19}$，把x1=$\frac{11}{19}$代入可得x2=$\frac{1}{5}$，把x2=$\frac{1}{5}$代入可得x₃=-1，
因为x₃=-1∉D，
所以数列{x_n}只有三项：x1=$\frac{11}{19}$，x2=$\frac{1}{5}$，x3=-1．…（4分）
（2）f（x）=2x+3的定义域为R，…（6分）
若x₀=-1，则x₁=1，
则x_n+1=f（x_n）=2x_n+3，
所以x_n+1+3=2（x_n+3），…（8分）
所以数列{x_n+3}是首项为4，公比为2的等比数列，
所以xn+3=4•2n-1=2n+1，
所以xn=2n+1-3，
即数列{x_n}的通项公式xn=2n+1-3．                    …（10分）

点评 本题考查数列的所有项的求法，考查数列的通项公式的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用，属于中档题．