Question

15．已知函数f（x）=x³+3ax²+（3-6a）x+12a-3 （a∈R）
（1）证明：曲线y=f（x）在x=0处的切线过点（2，3）；
（2）若f（x）在x=x₀ 处取得极小值，x₀∈（1，3）求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数f（x）在x=0处的导数和f（0）的值，结合直线方程的点斜式方程，可求切线方程；
（2）f（x）在x=x₀处取得最小值必是函数的极小值，可以先通过讨论导数的零点存在性，得出函数有极小值的a的大致取值范围，然后通过极小值对应的x₀∈（1，3），解关于a的不等式，从而得出取值范围．

解答 解：（1）f′（x）=3x²+6ax+3-6a，
由f（0）=12a-3，f′（0）=3-6a，
可得曲线y=f（x）在x=0处的切线方程为y=（3-6a）x+12a-3，
当x=2时，y=2（3-6a）+12a-3=3，可得点（2，3）在切线上，
∴曲线y=f（x）在x=0的切线过点（2，3）；
（2）由f′（x）=0得，
x²+2ax+1-2a=0…（1）
方程（1）的根的判别式
△=4a²-4（1-2a）=4（a+1+$\sqrt{2}$） （a+1-$\sqrt{2}$）
①当-$\sqrt{2}$-1≤a≤$\sqrt{2}$-1时，函数f（x）没有极小值，
②当a＜-$\sqrt{2}$-1或a＞$\sqrt{2}$-1时，
由f′（x）=0得x₁=-a-$\sqrt{{a}^{2}+2a-1}$，x₂=-a+$\sqrt{{a}^{2}+2a-1}$，
故x₀=x₂，由题设可知1＜-a+$\sqrt{{a}^{2}+2a-1}$＜3
（i）当a＞$\sqrt{2}$-1时，不等式1＜-a+$\sqrt{{a}^{2}+2a-1}$＜3没有实数解；
（ii）当a＜-$\sqrt{2}$-1时，不等式1＜-a+$\sqrt{{a}^{2}+2a-1}$＜3
化为a+1＜$\sqrt{{a}^{2}+2a-1}$＜a+3，
解得-$\frac{5}{2}$＜a＜-$\sqrt{2}$-1，
综合①②，得a的取值范围是（-$\frac{5}{2}$，-$\sqrt{2}$-1）．

点评 将字母a看成常数，讨论关于x的三次多项式函数的极值点，是解决本题的难点，本题中处理关于a的无理不等式，计算也比较繁，因此本题对能力的要求比较高．