Question

8．已知0＜x＜$\frac{3}{2}$，则y=$\frac{2}{x}$+$\frac{9}{3-2x}$的最小值为25．

Answer 1

分析 由题意可得0＜3-2x＜3，整体代入变形可得y=$\frac{4}{2x}$+$\frac{9}{3-2x}$=（$\frac{4}{2x}$+$\frac{9}{3-2x}$）[2x+（3-2x）]=13+$\frac{4（3-2x）}{2x}$+$\frac{18x}{3-2x}$，由基本不等式可得．

解答 解：∵0＜x＜$\frac{3}{2}$，∴0＜3-2x＜3，
∴y=$\frac{2}{x}$+$\frac{9}{3-2x}$=$\frac{4}{2x}$+$\frac{9}{3-2x}$=（$\frac{4}{2x}$+$\frac{9}{3-2x}$）[2x+（3-2x）]
=13+$\frac{4（3-2x）}{2x}$+$\frac{18x}{3-2x}$≥13+2$\sqrt{\frac{4（3-2x）}{2x}•\frac{18x}{3-2x}}$=25
当且仅当$\frac{4（3-2x）}{2x}$=$\frac{18x}{3-2x}$即x=$\frac{3}{5}$时取等号．
故答案为：25．

点评 本题考查基本不等式求最值，整体变形为可用基本不等式的形式是解决问题的关键，属基础题．