Question

9．已知定义在R上的函数f（x）满足条件f（x+4）=-f（x），且函数y=f（x+2）是偶函数，当x∈（0，2]时，$f（x）=lnx-ax（{a＞\frac{1}{2}}）$，当x∈[-2，0）时，f（x）的最小值为3，则a的值等于（　　）

• A． e²
• B． e
• C． 2
• D． 1

Answer 1

分析 根据f（x）的对称性得出f（x）在[-2，0）上的解析式，判断f（x）在[-2，0）上的单调性，根据最小值列方程解出a．

解答 解：∵f（x+2）是偶函数，∴f（x+2）=f（-x+2），
∴f（x）关于直线x=2对称，
∴当2≤x＜4时，f（x）=f（4-x）=ln（4-x）-a（4-x）．
∵f（x+4）=-f（x），
∴当-2≤x＜0时，f（x）=-f（x+4）=-ln[4-（x+4）]+a[4-（x+4）]=-ln（-x）-ax，
∴f′（x）=-$\frac{1}{x}$-a，
令f′（x）=0得x=-$\frac{1}{a}$，
∵a$＞\frac{1}{2}$，∴-$\frac{1}{a}$∈（-2，0），
∴当-2≤x＜-$\frac{1}{a}$时，f′（x）＜0，当-$\frac{1}{a}$＜x＜0时，f′（x）＞0，
∴f（x）在[-2，-$\frac{1}{a}$）上单调递减，在（-$\frac{1}{a}$，0）上单调递增，
∴当x=-$\frac{1}{a}$时，f（x）取得最小值f（-$\frac{1}{a}$）=-ln$\frac{1}{a}$+1，
∵f（x）在[-2，0）上有最小值3，
∴-ln（$\frac{1}{a}$）+1=3，解得a=e²．
故选A．

点评 本题考查了函数的对称性应用，函数单调性判断与最值计算，属于中档题．