Question

20．已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的一条渐近线平行于直线l：y=-2x-10，双曲线的一个焦点在直线l上，双曲线的方程为（　　）

• A． $\frac{x^2}{20}-\frac{y^2}{5}=1$
• B． $\frac{x^2}{20}-\frac{y^2}{100}=1$
• C． $\frac{x^2}{5}-\frac{y^2}{20}=1$
• D． $\frac{x^2}{25}-\frac{y^2}{100}=1$

Answer 1

分析 先求出焦点坐标，利用双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，可得$\frac{b}{a}$=2，结合c²=a²+b²，求出a，b，即可求出双曲线的方程．

解答 解：∵双曲线的一个焦点在直线l上，
令y=0，可得x=-5，即焦点坐标为（-5，0），∴c=5，
∵双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的一条渐近线平行于直线l：y=-2x-10，
∴$\frac{b}{a}$=2，
∵c²=a²+b²，
∴a²=5，b²=20，
∴双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{5}-\frac{{y}^{2}}{20}$=1．
故选：C．

点评 本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，属于中档题．