Question

14．已知圆C：x²+y²+2x-4y+1=0的圆心在直线ax-by+1=0上，则ab的取值范围是（　　）

• A． （-∞，$\frac{1}{4}$]
• B． （-∞，$\frac{1}{8}$]
• C． （0，$\frac{1}{4}$]
• D． （0，$\frac{1}{8}$]

Answer 1

分析 把圆的方程化为标准方程，找出圆心坐标和半径，由已知圆关于直线ax-by+1=0对称，得到圆心在直线上，故把圆心坐标代入已知直线方程得到a与b的关系式，由a表示出b，设m=ab，将表示出的b代入ab中，得到m关于a的二次函数关系式，由二次函数求最大值的方法即可求出m的最大值，即为ab的最大值，即可写出ab的取值范围．

解答 解：把圆的方程化为标准方程得：（x+1）²+（y-2）²=4，
∴圆心坐标为（-1，2），半径r=2，
根据题意可知：圆心在已知直线ax-by+1=0上，
把圆心坐标代入直线方程得：-a-2b+1=0，即a=1-2b，
则设m=ab=b（1-2b）=-2b²+b，
∴当b=$\frac{1}{4}$时，m有最大值，最大值为$\frac{1}{8}$，即ab的最大值为$\frac{1}{8}$，
则ab的取值范围是（-∞，$\frac{1}{8}$]．
故选B．

点评 本题以直线与圆为载体，考查对称性，考查了直线与圆相交的性质，以及二次函数的性质．根据题意得到圆心在已知直线上是解本题的关键．