Question

【题目】如图，在三棱锥中，，，，，分别为线段上的点，且，.

（1）证明：；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）由已知可得平面，得到，从而得到平面，即，然后利用勾股定理得，从而得到平面，由线面垂直得性质定理即可得到证明；（2）根据已知条件可建立以为坐标原点，以为轴、轴、轴的正方向建立的空间直角坐标系，求出平面和面的法向量，利用向量公式计算即可得到答案.

（1）证明：由，，且，

则平面，平面，

故，

又，，

则平面，平面，

故.

因为，，

所以，

故.

又因为，

所以平面，

又平面，则

（2）由（1）知，为等腰直角三角形，过作垂直于，

易知，，又，故

由，，得，

故

以为坐标原点，分别以为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，

则，，，，，

，，.

设平面的法向量为，则

，

令，得

设平面的法向量为

则，

令，则，，故

，

由图可知二面角为钝角，

故二面角的余弦值为.