Question

【题目】已知函数，，设的定义域为.

（1）求；

（2）用定义证明在上的单调性，并直接写出在上的单调性；

（3）若对一切恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；

（2）证明见解析；单调递减；

（3）.

【解析】

（1）根据指数函数的性质求出函数的定义域；

（2）根据定义证明单调性的步骤证明即可，结合复合函数的单调性得到在上的单调性；

（3）若对一切恒成立，转化为，结合三角函数的最值，可求出a的范围.

解：（1）

要使函数有意义，则，

即，

∴，

故函数的定义域为：

（2）f（x）在上单调递减，

证明如下：设＜＜3，

则f（x1）﹣f（x2）＝，

又＜＜3，

∴，，，

∴f（x1）﹣f（x2）>0,即f（x1）>f（x2）

∴f（x）在（﹣∞，3）上单调递减,

∴在（﹣∞，3）上单调递减.

（3）∵对一切恒成立，

∴

由 ，可得，又，

∴，即；

由，可得

又，

∴，

解得：，或

又

故a的取值范围为 ．