Question

【题目】如图，在各棱长均为2的三棱柱中，侧面底面ABC，．

（1）求侧棱与平面所成角的正弦值的大小；

（2）已知点D满足，在直线上是否存在点P，使DP∥平面？若存在，请确定点P的位置，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）恰好为点．

【解析】

（1）建立空间直角坐标系，求出AA1向量，平面AA1C1C的法向量，然后求出侧棱AA1与平面AB1C所成角的正弦值的大小；

（2）在（1）的前提下，求出，设出P的坐标，使DP∥平面AB1C，即与法向量共线，再求出P的坐标．

（1）∵侧面底面ABC，作A1O⊥AC于点O，

∴平面．

又，且各棱长都相等，

∴，，．

故以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，

则，，，，

∴，，．

设平面的法向量为

则，取，得．

设侧棱AA1与平面AB1C所成角的为θ，

则，

∴侧棱与平面所成角的正弦值为．

（2）∵，而，

∴，又∵，∴点．

假设存在点P符合题意，则点P的坐标可设为，∴

∵DP∥平面，为平面的法向量，∴，得z=,

又由，得，∴．

又平面，故存在点P，使DP∥平面，其坐标为，

即恰好为点．