Question

【题目】已知函数，．

若是函数的极值点，求曲线在点处的切线方程；

若函数在区间上为单调递减函数，求实数a的取值范围；

设m，n为正实数，且，求证：．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）见解析

【解析】

求出导函数，得到函数的极值点，解得，求出切线的斜率为，切点为，然后利用点斜式求解切线方程；由知，利用函数在区间上为单调递减函数，得到在区间上恒成立，推出，设，，，利用基本不等式，再求出函数的最大值，可得实数的取值范围；利用分析法证明，要证，只需证，设，，利用导数研究函数的单调性，可得,从而可得结论．

，．

是函数的极值点，，解得，

经检验，当时，是函数的极小值点，符合题意

此时切线的斜率为，切点为，

则所求切线的方程为

由知

因为函数在区间上为单调递减函数，

所以不等式在区间上恒成立

即在区间上恒成立，

当时，由可得，

设，，，

当且仅当时，即时，，

又因为函数在区间上为单调递减，在区间上为单调递增，

且，，

所以当时，恒成立，

即，也即

则所求实数a的取值范围是

，n为正实数，且，要证，只需证

即证只需证

设，，

则在上恒成立，

即函数在上是单调递增，

又，，即成立，

也即成立.