Question

8．已知函数f（x）=2sinx•sin（x+$\frac{π}{3}$）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）锐角△ABC的角A，B，C所对边分别是a，b，c，角A的平分线交BC于D，直线x=A是函数f（x）图象的一条对称轴，AD=$\sqrt{2}$BD=2，求边a．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先化简函数，再利用正弦函数的性质，求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）求出$A=\frac{π}{3}$，所以角$∠BAD=\frac{π}{6}$，由正弦定理得$\frac{BD}{sin∠BAD}=\frac{AD}{sinB}⇒sinB=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，所以$B=\frac{π}{4}$，$C=π-\frac{π}{3}-\frac{π}{4}=\frac{5}{12}π$，$∠CDA=π-\frac{π}{6}-\frac{5π}{12}=\frac{5π}{12}$，即可求边a．

解答 解：（Ⅰ）因为$f（x）=2sinx（\frac{1}{2}sinx+\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosx）=\sqrt{3}sinxcosx+{sin^2}x$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x-\frac{1}{2}cos2x+\frac{1}{2}=sin（2x-\frac{π}{6}）+\frac{1}{2}$，
令$2kπ-\frac{π}{2}≤2x-\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}，k∈Z$，解得$kπ-\frac{π}{6}≤x≤kπ+\frac{π}{3}，k∈z$，
所以递增区间是$[kπ-\frac{π}{6}，kπ+\frac{π}{3}]（k∈Z）$；
（Ⅱ）直线x=A是函数f（x）图象的一条对称轴，
则$2A-\frac{π}{6}=kπ+\frac{π}{2}⇒A=\frac{kπ}{2}+\frac{π}{3}，k∈z$，由$0＜A＜\frac{π}{2}$得到$A=\frac{π}{3}$，
所以角$∠BAD=\frac{π}{6}$，由正弦定理得$\frac{BD}{sin∠BAD}=\frac{AD}{sinB}⇒sinB=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
所以$B=\frac{π}{4}$，$C=π-\frac{π}{3}-\frac{π}{4}=\frac{5}{12}π$，$∠CDA=π-\frac{π}{6}-\frac{5π}{12}=\frac{5π}{12}$，
所以AC=AD=2，$DC=2AD•cos\frac{5π}{12}=\sqrt{6}-\sqrt{2}$，
所以$a=BD+AD=\sqrt{6}$．

点评 本题考查三角函数解析式的化简，考查三角函数的性质，考查正弦定理的运用，属于中档题．