题目内容

20．某商城举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，抽奖规则如下：
1．抽奖方案有以下两种，方案a：从装有2个红球、3个白球（仅颜色不同）的甲袋中随机摸出2个球，若都是红球，则获得奖金30元；否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回甲袋中，方案b：从装有3个红球、2个白球（仅颜色相同）的乙袋中随机摸出2个球，若都是红球，则获得奖金15元；否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回乙袋中．
2．抽奖条件是，顾客购买商品的金额买100元，可根据方案a抽奖一次：满150元，可根据方案b抽奖一次（例如某顾客购买商品的金额为260元，则该顾客可以根据方案a抽奖两次或方案b抽奖一次或方案a、b各抽奖一次）．已知顾客A在该商场购买商品的金额为350元．
（1）若顾客A只选择方案a进行抽奖，求其所获奖金的期望值；
（2）要使所获奖金的期望值最大，顾客A应如何抽奖．

分析 （1）顾客A只选择方案a进行抽奖，则其抽奖方式为按方案a抽奖三次，满足二项分布B（3，$\frac{1}{10}$），由此能求出顾客A只选择方案a进行抽奖，其所获奖金的期望值．
（2）按方案b一次抽中的概率P（B）=$\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{5}^{2}}$=$\frac{3}{10}$，假设①，顾客A按方案a抽奖两次，按方案b抽奖一次，此时方案a的抽法满足二项分布B1～（2，$\frac{1}{10}$），方案b的抽法满足二项分布B2～（1，$\frac{3}{10}$），设所得奖金为w2，求出${E}_{{w}_{2}}$；假设②，顾客A按方案b抽奖两次，此时满足二项分布B～（2，$\frac{3}{10}$），设所得奖金为w3，求出${E}_{{w}_{3}}$．由此能求出要使所获奖金的期望值最大，顾客A应按方案a抽奖两次，按方案b抽奖一次．

解答 解：（1）顾客A只选择方案a进行抽奖，则其抽奖方式为按方案a抽奖三次，
按方案a一次抽中的概率P（A）=$\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{5}^{2}}$=$\frac{1}{10}$，
此时满足二项分布B（3，$\frac{1}{10}$），
设所得奖金为w1，则${E}_{{w}_{1}}$=$3×\frac{1}{10}×30=9$，
∴顾客A只选择方案a进行抽奖，其所获奖金的期望值为9元．
（2）按方案b一次抽中的概率P（B）=$\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{5}^{2}}$=$\frac{3}{10}$，
假设①，顾客A按方案a抽奖两次，按方案b抽奖一次，
此时方案a的抽法满足二项分布B1～（2，$\frac{1}{10}$），
方案b的抽法满足二项分布B2～（1，$\frac{3}{10}$），
设所得奖金为w2，则${E}_{{w}_{2}}$=$2×\frac{1}{10}×30+1×\frac{3}{10}×15$=10.5，
假设②，顾客A按方案b抽奖两次，此时满足二项分布B～（2，$\frac{3}{10}$），
设所得奖金为w3，∴${E}_{{w}_{3}}$=2×$\frac{3}{10}×15$=9．
∵${E}_{{w}_{1}}={E}_{{w}_{3}}＜{E}_{{w}_{2}}$，
∴要使所获奖金的期望值最大，顾客A应按方案a抽奖两次，按方案b抽奖一次．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法及应用，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．

练习册系列答案
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