Question

19．抛物线x²=2my（m＞0）的焦点为F，其准线与双曲线$\frac{x^2}{m^2}-\frac{y^2}{n^2}=1（n＞0）$有两个交点A，B，若∠AFB=120°，则双曲线的离心率为3．

Answer 1

分析 求出，F（0，$\frac{m}{2}$），准线方程为y=-$\frac{m}{2}$，代入双曲线$\frac{x^2}{m^2}-\frac{y^2}{n^2}=1（n＞0）$，可得x=±$\sqrt{{m}^{2}+\frac{{m}^{4}}{4{n}^{2}}}$，利用准线与双曲线$\frac{x^2}{m^2}-\frac{y^2}{n^2}=1（n＞0）$有两个交点A，B，∠AFB=120°，得出$\sqrt{{m}^{2}+\frac{{m}^{4}}{4{n}^{2}}}$=$\sqrt{3}m$，求出m，n的关系，即可得出结论．

解答 解：由题意，F（0，$\frac{m}{2}$），准线方程为y=-$\frac{m}{2}$，
代入双曲线$\frac{x^2}{m^2}-\frac{y^2}{n^2}=1（n＞0）$，可得x=±$\sqrt{{m}^{2}+\frac{{m}^{4}}{4{n}^{2}}}$，
∵准线与双曲线$\frac{x^2}{m^2}-\frac{y^2}{n^2}=1（n＞0）$有两个交点A，B，∠AFB=120°，
∴$\sqrt{{m}^{2}+\frac{{m}^{4}}{4{n}^{2}}}$=$\sqrt{3}m$，
∴m=2$\sqrt{2}$n，
∴双曲线的离心率为$\frac{\sqrt{8{n}^{2}+{n}^{2}}}{m}$=3．
故答案为3．

点评 本题考查抛物线、双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，确定m，n的关系是关键．