Question

13．已知{a_n}是等比数列，a₂=1，a₅=$\frac{1}{8}$，设S_n=a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1（n∈N^*），λ为实数．若对?n∈N^*都有λ＞S_n成立，则λ的取值范围是[$\frac{8}{3}$，+∞）．

Answer 1

分析 利用等比数列通项公式列出方程组，求出${a}_{1}=2，q=\frac{1}{2}$，从而得到${a}_{n}{a}_{n+1}=（\frac{1}{2}）^{n-2}（\frac{1}{2}）^{n-1}=（\frac{1}{2}）^{2n-3}$，再利用等比数列前n项和公式求出S_n=a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1=$\frac{8}{3}[1-（\frac{1}{4}）^{n}]$＜$\frac{8}{3}$，由此能求出λ的取值范围．

解答 解：∵{a_n}是等比数列，a₂=1，a₅=$\frac{1}{8}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}q=1}\\{{a}_{1}{q}^{4}=\frac{1}{8}}\end{array}\right.$，解得${a}_{1}=2，q=\frac{1}{2}$，
∴${a}_{n}=2×（\frac{1}{2}）^{n-1}$=（$\frac{1}{2}$）^n-2，
∴${a}_{n}{a}_{n+1}=（\frac{1}{2}）^{n-2}（\frac{1}{2}）^{n-1}=（\frac{1}{2}）^{2n-3}$，
∴S_n=a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1（n∈N^*）
=（$\frac{1}{2}$）^-1+（$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$）³+…+（$\frac{1}{2}$）^2n-3
=$\frac{2[1-（\frac{1}{4}）^{n}]}{1-\frac{1}{4}}$=$\frac{8}{3}[1-（\frac{1}{4}）^{n}]$＜$\frac{8}{3}$，
∵对?n∈N^*都有λ＞S_n成立，
∴$λ≥\frac{8}{3}$，即λ的取值范围是[$\frac{8}{3}$，+∞）．
故答案为：[$\frac{8}{3}$，+∞）．

点评 本题考查等比数列通项公式、前n项和公式、不等式性质等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，是基础题．